Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

  

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorangfisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, danteori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.

Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".

Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.

Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhantelah menuliskan bukti-bukti kesukaannya. Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123

Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak kelihatan”.

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123.

Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.

Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan.

Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?

Matematika dan Bilangan Prima

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu – Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld – yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.

Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, …. dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya :

6 = 2 x 3 = 2 . 3

30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5

85 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5)

(5,7)

(11,13)

(17,19)

dan seterusnya

Metode Menghitung Perkalian Dengan Cepat

Bayangkan suatu ketika kita diminta untuk menghitung perkalian suatu bilangan, dan kita mampu menjawabnya dengan cepat, bahkan lebih cepat dari mereka yang menggunakan kalkulator sekalipun. Pastilah kesan yang muncul adalah kita dianggap sebagai manusia yang jenius. Sebagian besar orang menganggap bahwa kemampuan matematika sama dengan kecerdasan. Bagi mereka yang mampu menghitung dengan cepat perkalian, pembagian, pengkuadratan, dan pengakar kuadratan, pastilah diperlakukan secara berbeda oleh teman-teman, keluarga, dan orang lain di lingkungannya. Karena perlakuan seperti itu pulalah kemudian orang yang mampu menghitung cepat ini, lebih cenderung bertindak dengan lebih cerdas pula.

Suatu ketika ada sebuah perhitungan sebagai berikut : ‘dua ditambah tiga dikali empat sama dengan …?”. sebagian menjawab 20, sebagian yang lain menjawab 24, tetapi manakah jawaban yang benar?. Kita tahu bahwa dalam matematika ada urutan-urutan fungsi matematika. Kita harus melakukan perkalian atau pembagian terlebih dahulu sebelum menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan, sebagian kalkulator dilengkapi dengan prosedur ini, tapi kalkulator yang lain tidak. Jadi sebuah kalkulator tidak bisa berpikir untuk kita, bahkan kita sendiri yang harus memahami apa yang kita lakukan, kalkulator hanya sedikit membantu.

Perbedaan orang yang sukses dengan orang yang tidak sukses bukanlah otak yang dimilikinya sejak lahir, tapi sebenarnya bagaimana mereka menggunakan otak mereka. Orang yang sukses menggunakan strategi yang lebih baik, dibandingkan orang yang tidak sukses. Dalam pembahasan menghitung perkalian cepat ini, akan dikemukakan strategi-strategi yang lebih baik yang dijamin lebih mudah dibandingkan dengan metode-metode yang biasa kita pelajari di sekolah sebelumnya. Jadi kita akan mampu menyelesaikan suatu perkalian dengan lebih cepat dan memperkecil tingkat kesalahan perhitungan. Jadi semakin mudah metode yang digunakan untuk memecahkan suatu soal, akan semakin cepat terpecahkan dengan tingkat kemungkinan kesalahan yang minima.

Sekarang kita akan mempelajari metode berhitung perkalian cepat yang bisa dipahami oleh semua orang. Nah, dengan berusaha mencoba sendiri soal-soal lain, kita akan memahami matematika tidak seperti sebelumnya alias ketika kita memahami metode secara kurikulum yang sudah diberikan di sekolah.

Sebelum melangkah lebih jauh, kita harus memahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan bilangan rujukan. Hal ini penting sebab, bilangan rujukan ini sebagai pedoman kita dalam menyelesaikan perkalian dari dua buah bilangan, sehingga kita akan selalu menggunakan bilangan rujukan ini. Bilangan rujukan yang dimaksud adalah suatu bilangan yang kita jadikan patokan perkalian, dimana bilangan rujukan ini mendekati dua buah bilangan yang ingin kita kalikan. Bilangan-bilangan ini adalah 10, 20, 30, ……dan seterusnya yang bilangan dibelakangnya adalah nol. Tanda  +(Plus) dan minus (-) kita gunakan apabila kedua bilangan yang dikalikan berada di atas atau di bawah bilangan rujukan. Dan dalam hal ini kita bebas menentukan bilangan rujukan yang ingin kita ambil, tetapi dengan prosedur baku yang diberikan, berapapun bilangan yang ingin kita kalikan.

Perkalian bilangan puluhan (Dua digit)

Contoh : misalkan 12 x 16

10

+2    +6

12  x  16

Langkah 1 : jumlahkan secara diagonal 12+6 = 16 +2 = 18

Langkah 2 :  Kalikan dengan bilangan rujukan 18 x 10 = 180

Langkah 3 : Kalikan bilangan  yang ada di atas/di bawah 2 x 6 = 12

Langkah 4 : jumlahkan hasilnya 180 + 12 = 192

Contoh : misalkan  18 x 32

20

+12

18  x  32

-2

Langkah 1 : Jumlahkan secara diagonal 18 + 12 = 32 – 2 = 30

Langkah 2 : Kalikan dengan bilangan rujukan 30 x 20 = 600

Langkah 3 : Kalikan bilangan yang ada di atas/di bawah -2 x 12 = -24

Langkah 4 : jumlahkan hasilnya 600 – 24 = (600 – 30) + 6 = 576

Keterangan :

Perhatikan bilangan yang kita ambil sebagai rujukan adalah 20, maka 18  dua kurangnya dari 20 ditulis (-2) dan 32 dua belas lebihnya dari 20 ditulis (+12). Tanda min (-) kita letakkan di bawah dan tanda plus (+) kita letakkan di atas. Pada tahap ke empat kita kurangkan 600 dengan bilangan yang mendekati 24 yaitu 20 atau 30. Dalam contoh ini kita ambil 30, yang artinya 30 enam lebihnya dari 24 (Pen : Perhatikan tanda +6). hal ini untuk lebih memudahkan perhitungannya, kita tetap menggunakan bilangan yang memuat angka nol pada digit terakhir.

Contoh : misalkan 14 x 64

20

+42

14   x   62

-6

Langkah 1 :  Jumlahkan secara diagonal 14 + 42 = 62 – 6 = 56

Langkah 2 : Kalikan dengan bilangan rujukan 56 x 20 = 1120

Langkah 3 : Kalikan bilangan yang ada di atas/di bawah -6 x 42 = -252

Langkah 4 : Jumlahkan hasilnya 1120 – 253 = (1120 – 220) – 32

= 900-32 = (900-40) + 8 = 868

Untuk bilangan yang mempunyai interval (Selisih) yang cukup besar, kita usahakan salah satu bilangannya adalah satuan. Bukankah lebih mudah mengalikan satuan dengan puluhan, dibandingkan mengalikan puluhan dengan puluhan.

Perkalian bilangan ratusan (Tiga digit)

Contoh : misalkan 123 x 119

10020

+23        +19

123   x   119

Langkah 1 : Jumlahkan secara diagonal 123 +19 = 119 + 23 = 142

Langkah 2 : Kalikan dengan bilangan rujukan 142 x 100 = 14200

Langkah 3 : Kalikan bilangan yang ada di atas/di bawah 23 x 19 = 437

Langkah 4 : Jumlahkan hasilnya 14200 + 437 = (14200+440) – 3 = 14637

Perhatikan pada tahap ke tiga, tentu saja kita gunakan metode untuk perkalian dua digit yaitu dengan bilangan rujukan 20, sehingga 23 + -1 = 19 + 3 =22 lalu 22 x 20 = 440 dan terakhir 440 + (3 x -1) = 440 -3 = 437

Mengalikan dengan menggunakan dua bilangan rujukan

Metode perkalian di atas sangat efektif bekerja untuk bilangan-bilangan  yang selisih nilainya tidak terlalu jauh. Ketika bilangan-bilangan yang kita kalikan mempunyai selisih yang jauh, metodenya tetap bisa digunakan, tetapi mungkin kita akan berpikir menggunakan metode lain yang lebih sederhana. Sekarang mari kita coba mengenal metode perkalian dengan menggunakan dua bilangan rujukan, sebagai pembanding metode di atas. Ini sangat memungkin sekali untuk lebih menyederhakan penyelesaiannya, sebab kita memiliki dua bilangan rujukan yang mendekati kedua bilangan yang dikalikan. Tapi ingat, bahwa  hasil perkalian dua bilangan rujukan itu, akan menjadi bilangan rujukan untuk bilangan yang paling besar dari dua bilangan yang ingin kita kalikan.

Contoh : Misalkan   9 x 48

(10 x 5)   9   x    48

-1        -2

-5

Langkah 1 : kurangkan bilangan terkecil dari bilangan yang ingin dikalikan dengan bilangan terbesar pada bilangan rujukan 9 – 10 = -1. artinya 9 satu kurangnya dari 10 ditulis (-1). Kurangkan bilangan terbesar dengan hasil kali dari kedua bilangan rujukan (10 x 5 = 50) yaitu 48 – 50 = -2. Artinya 48 dua kurangnya dari 50 sehingga ditulis (-2).

Langkah 2 : kalikan -1 dengan 5 yaitu -1 x 5 = -5

Langkah 3 :Jumlahkan 48 dengan -5 ditulis 48 + (-5) = 48 – 5 = 43 lalu kalikan dengan 10 ditulis 43 x 10 = 430

Langkah 4 : Kalikan -1 dengan -2 ditulis -1 x -2 = 2 kemudian jumlahkan semua hasilnya sehingga 430 +  2 = 432.

Contoh : misalkan 96 x 389

(100 x 4)   96   x   389

-4         -11

-16

Langkah 1 : 96 – 100 = -4 kemudian 389 – 400 = -11

Langkah 2 : -4 x 4 = -16, kemudian 389 – 16 = (389 – 20) +4 = 373

Langkah 3 : 373 x 100 = 37300

Langkah 4 : -4 x -11 = 44 kemudian jumlahkan semua hasilnya, sehingga menjadi 37300 + 44 = 37344

Untuk menghitung perkalian dengan metode di atas sangatlah mudah. Satu-satunya kesulitan yang mungkin dihadapi pada tahap-tahap awal, adalah mengingatalangkah-langkah yang harus dilakukan. Kita bisa menggunakan kombinasi bilangan rujukan secara bebas, asalkan mengikuti pedoman-pedoman berikut :

v    Pilihlah bilangan rujukan dasar yang mudah untuk dikalikan misalnya 10, 20, 30, ……. dan seterusnya.

v    Bilangan rujukan yang kedua haruslah merupakan kelipatan dari bilangan rujukan dasar, misalnya dengan menggandakan bilangan rujukan dasar sebanyak dua kali, tiga kali, sepuluh kali atau empat belas kali.

Sejarah Singkat Teorema Pythagoras

 

"Teorema Pythagoras" dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segi tiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.

 

Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides di antara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa 'Jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusa-nya'.

Secara matematis, teorema ini biasanya biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2 , di mana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).

Sejarah

Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:

1. pengetahuan dari Triple Pythagoras,

2. hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan, 3. bukti dari teorema.

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.

Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".

Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.